從LeetCode學演算法 - 112 Binary Search (6) / Newton’s Method

Mon, 01 Feb 2021 00:00:00 +0800

0367. Valid Perfect Square (Easy)

寫在前面

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Question

Given a positive integer num, write a function which returns True if num is a perfect square else False.

Follow up: ** Do not** use any built-in library function such as sqrt.

Example 1

1
2


Input: num = 16
Output: true

Example 2

1
2


Input: num = 14
Output: false

Constraints

1 <= num <= 2^31 - 1

分析/解題

給定一個正整數num，試檢驗num是否為完全平方數(也就是可以分解成兩個完全相等的數相乘)。
請不要使用內建的sqrt或類似的函式。

雖然被封印了平方根函數，但已經看到標題的讀者應該不難猜想到，
我們可以運用一般的二分逼近法，
去將目標(我們先稱之為x)的範圍縮小。
當找到 x² 和num相等時，就表示num是完全平方數(回傳True)，
否則一路找到兩個邊界交叉時，表示num不存在整數平方根，
我們就可以回傳False。

那麼，有沒有再更厲害一點的方法呢？
這邊來介紹一下一個著名的方法，名為牛頓法(Newton’s Method)。
我們在求x² = num當中的x，(下面方便起見，將num寫成n)
其實相當於求 y = f(x) = x² - n在y = 0時的正根。
假定r是這個根，我們先取一個任意一個比較大的值x0，
那麼它對應到的座標應該是(x0, f(x0))。
對於這個點做曲線的切線的話，應該可以得到切線方程式：
y = f(x0) + f’(x0) (x-x0)
也就是y = ax +b嘛! a就是在x0上的切線斜率，
而x代入x0的話可以驗證y = f(x0)，
所以這個方程式可以表達該切線沒錯。

我們將這個切線叫做L，
那麼L和x軸的交點的x座標，應該就和r更近囉！
(想像一下拋物線的斜度會越來越平，所以切線和x軸的交點，
比起拋物線和x軸的交點來說應該會大一點)
我們將後面和x軸的交點位置叫做x1 ，
那麼就可以計算其斜率為 f(x0) / (x0-x1) = (x0²-n)/(x0-x1) ，
同時也等於f(x)的導數(就是對其微分)f’(x) = 2x 。
因此，2x0 = (x0²-n)/(x0-x1) -> 2x0(x0-x1) = x0²-n
繼續化簡：
-> 2x0²-2x0x1=x0²-n
-> x0²+n = 2x0x1
-> x1 = (x0 + n/x0) / 2

每次取得一個更接近的x來逼近r的位置

我們可以再用這個x1再取得在f(x)上的點，接下來再畫切線，
重復上面的動作。
當我們每次用前面這個算式迭代，就可以取得一個新的x，
理論上它會更接近於r。(x1, x2, x3, …)
由於要取的是整數，所以我們在計算的時候，
就將所有的算式中的除法都取整數，
這樣算出來的狀況，就會變得有機會更小。
所以在運用到實際的計算時，
我們可以設定一個迴圈，將x直接先定為num，
當x² > num時，就持續迴圈，
那麼在x持續縮小的狀況下，
最終要嘛縮小到剛好得到一個正整數的平方根，
要嘛就是x²已經小於num了，我們就不用繼續往下做啦！

依此，寫成程式碼如下：

Java Java的部分，請留意到大小問題，我們應該要使用long來宣告變數。

Python

Python部分則請不要忘記整數除法是”//”。

面試實際可能會遇到的問題

「時間/空間複雜度？」
(時間複雜度難以界定，最差應該是O(num)，(但二分法也是)
平均應該優於O(log(num))，這可能也取決於初始值的取法；
空間複雜度則為O(1))

相似及延伸：
本題還有其他的解法可以參考以下連結https://leetcode.com/problems/valid-perfect-square/discuss/130010/Python-4-Methods-with-time-testing

Special Thanks suggestions/corrections from viewers:
(歡迎提供意見協助更正歐~)

從LeetCode學演算法，我們下次見囉，掰~

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